RATIONNELLE ENTIÈRE d'u^E VARIABLE COMPLEXE. 9 
origine B, dont nous nous sommes servis jusqu'ici, et où les 
directions des axes des x et y positifs correspondent à (jp zz: 0 
et (p = 90°. Soient x et t/ les coordonnées de B dans ce nouveau 
système , et z-=z x y i une quantité variable complexe. Les 
points a,, a 2 . . peuvent alors représenter les nombres complexes 
^j, 02 • • • î C \e nombre z t , de sorte que t =z r {cos cp-^i sin q.). 
Soit enfin f[z)-=z{z — z^)[z — 2^2) — -^^J) 
il en résulte 
logf{z+t)z=logf[z) + lg( \+ lg(\ ^ _L\+,. + lg (l^ ^\ 
et, lorsque mod. ^ est plus petit que les modules de z — z^^ 
z z^^. . z z^^^ 
Or on a : 
z — z^ zzz — R ^{cos +i sm wj, 2; — 2;2= — E ^[cos u ^+1 sin u ^)... 
d'où l'on déduit, pour le coefficient de tP dans (9): 
2 '^"'^ ^ 1 — / sin p u, 
{~iy - jr - — ^p=^~~ - 2; 
(9) 
L'expression à droite est, d'après (4), 
= M (cos a — i sin a ). 
Si donc on pose encore tz=zr (cos cp -\- i sin (jp), on obtient , en 
égalant entre elles les parties réelles des deux membres de (9): 
log Modf[z-\-t) zz: log Mod f{z)~hM^ r cos (<^— «,) -^M^ cos (2 (p — «2) -h.. 
ce qui est le développement en série du § 2. 
