10 T. J. STIELTJES. QUELQUES CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION 
Comme d'ailleurs la formule (1) résulte de 
log {\~z) ■=! — z — \ z^— I z 
quand on y pose z:=ae^' et q'on compare les parties réelles, 
ce mode de déduction ne diffère pas essentiellement de celui 
qui a été donné précédemment. 
Mais il ressort maintenant que 1/,, M^, . . sont les mo- 
dules des coefficients des puissances de t dans (9). Si l'on pose 
z~z 
n 
il vient: 
Ig f{z-^t) = Ig f{z) ^^,{z)t + \ v^' [z) + L ^" (z) . . , 
et Aij, M 2 . . . sont les modules de uj (e), ^ xp' (z) ... 
Or, on a /' (z) = xp (z) f{z) , 
d'où il suit; 
f'>(z)=^,' {_z)f{,z)+xp{z)f'{z) 
r (z) = V," (z) f(z) + 2 V' {z) f {z) + ^, {z) r {z) 
f" [z) = V-'" [z) f [z) + 3 ^," {z) f {z) + 3 V' {z) r n> («) f " (^) 
etc. 
Si l'on a donc M, = 0, ,)/, = 0, .. M , = 0 et M non 
égal à zéro, f (z), f {z) . . f^~^ (z) sont également nuls et 
(z) n'est pas nul; en d'autres termes, z est une racine mul- 
tiple de l'ordre 5 — 1 de l'équation f'[z)-=:0. Et réciproque- 
ment: lorsque z est une racine multiple de l'ordre s — 1 de 
f'{z)=:0, les quantités M^, ^^2'' ^^s—i ^^^^ égales à zéro et 
n'est pas égale à zéro. 
Après ce qui a été dit au § 3, on voit donc maintenant que 
les points multiples des courbes pour lesquelles on a Mod f{z) = C 
coïncident avec les points radicaux de f (2^) — 0 ; et c'est seu- 
