14 T. J. STIELTJES. QUELQUES CONSIDÉRATIONS SUR LA. FONCTION 
dérer le cercle K où mod. z a une valeur constante , et qui , 
en même temps, satisfait aux conditions: 
primo: d'entourer le point P et tous les cercles K^..K^ 
secundo: que le minimum de Mod. f {z) ^owv les points du 
cercle soit plus grand que m. Il est clair, d'après le § 5, qu'il 
existe toujours un pareil cercle. 
De § 5, 3® il résulte alors que m est le minimum des valeurs 
de Mod.f{z< situées dans le domaine en dehors de K K^- Kj^ 
et à l'intérieur de iiT, de sorte que le module de f [z] en P est 
plus grand que m . C . Q . F . D. 
Lorsque C<m^ le domaine où Ton a 
Mod.f<z)^C 
ne contient donc aucun point situé en dehors des cercles iT,, 
. . K^. D'autre part, il est clair que . . A^, appar- 
tiennent à ce domaine, et de § 5, P et 2°, il suit donc que le 
domaine Mod. f {z) <_ C est composé de k pièces continues iso- 
lées, dont le contour consiste par conséquent en k courbes fer- 
mées. Aucune de ces courbes ne peut se couper elle-même. 
Si C croît , chacune de ces k pièces continues s'étendra , jusqu'à 
ce que C atteigne la valeur c,. Supposons d'abord c^ <C2, la 
courbe Mod. f {z) = a alors, d'après § 2, en B ^ un point 
double, et les deux branches se coupent à angle droit. Décri- 
vons autour de comme centre, avec un rayon suffisamment 
petit, un cercle; celui-ci sera divisé en quatre secteurs S^, S 2, 
Soit, dans les secteurs S^^ iSj, Mod.f(z) <Cj, dans les sec- 
teurs 5^2? '^4' f i^' > ^^1- 
Si h est une quantité positive suffisamment petite, le do- 
maine Mod. f (z) ^ Cj — h s'étendra donc dans et ^3 mais 
non jusqu'au point de sorte que ces pièces ne se réunissent 
point à l'intérieur du cercle. La courbe Mod. f (z) =: c ^ -\- h ^ 
au contraire, pénètre dans et 8,^ , et la partie du domaine 
Mod. f {z) ziz c ^ h , située à l'intérieur du cercle, est 
continue. 
