18 T. J. STIELTJES. QUELQUES CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION 
Si l'on a E<2, la ligne 
Mod.f(z)z= C 
est composée de 4 courbes fermées, entourant A^^ A^, A^^ Ai^, 
Dans le cas de 2 < c < , la ligne est composée de deux , 
courbes fermées, dont l'une entoure A^^ J.^, l'autre, A^, 
Pour c > 2^J-Q , la ligne consiste en une seule courbe fermée , 
qui enveloppe tous les points J.,, A^, A^, A^. 
§ 9. Considérons encore une fois, pour une valeur quelconque 
de C, la ligne Mod. f{z) = C. Cette ligne se compose alors d'un 
certain nombre de courbes fermées 
^1, K^^ .... , 
qui n'ont pas de points communs et à l'intérieur desquelles sont 
situés tous des points radicaux A^, A^^ , . , A^. Lors même que 
ces lignes, pour certaines valeurs particulières de C, auraient 
entre elles quelque point commun, leur prolongement, lorsqu'on 
les considère comme les limites du domaine où Mod. f (z) est < (7, 
n'en serait pas moins complètement déterminé. 
Désignons par n^, n^, » . . les nombres des racines de f(z)z=zO 
qui sont situées à l'intérieur de K^, K^, . . . K^, de sorte qu'on ait 
+ ^2 4- . . + = ^, 
les racines égales étant comptées d'après le degré de leur 
multiplicité. 
Si maintenant la variable parcourt la ligne entière K^, de 
manière à retomber finalement sur sa valeur initiale, f{z) prend 
des valeurs dont le module est z= C, et pour f{z) — C {cosq)+ i sin qp) 
l'argument ç de f {z) croît de 2 tt, puisqu'à l'intérieur 
àe il y a racines de f[z) = 0. Il en résulte, évidem- 
ment, que l'expression f{z) prend alors toutes les valeurs ayant 
