ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRET ORDINAIRES. 118 
une équation différentielle linéaire dans laquelle (x), p.^ [x)^... 
P (^') représentent des fonctions de x remplissant les con- 
ditions suivantes 
ap^ {ttx)=p,{x) \ 
a^p^(ax)=p^{x)l 
(3) 
a^pja x)=pjx)^ 
a^'^p (ax) z=p {x) j 
si alors une fonction f{x) de x satisfait à V équation (2), les 
fonctions f{ax)^ f [a'^ x) ,..f{a^~~^x) satisferont également à 
cette équation. 
Cette proposition se démontre très simplement. En posant 
xz=. a z-f l'équation (2) devient : 
dz az az 
ou , si les conditions (3) sont remplies : 
a y a y d y ^ 
— - +p. (z) 1 -h p^ (z) 4- . ^p (z) y=:p [z), 
dz"^ ' dz'""^ dz'""-^ 
Il ressort de là que, si y=zf(x) satisfait à (2), cette équation 
sera satisfaite aussi par y = f{z) = fÇ-^, Lorsque dans une 
X 
intégrale f{x) on change x en -, on obtient donc une nouvelle 
intégrale; si l'on répète cette opération, on voit que /^^^ï^' 
^(«^) , . . /" seront également des intégrales de (2); la 
propositio;i susdite est par là démontrée, puisque 
i représentant un nombre entier. 
