114 W. KAPTEIJN. QUELQUES REMARQUES SUR LES 
Ainsi, quand les équations (3) sont satisfaites et qu'une inté- 
grale f [x) de (2) est donnée, on connaît immédiatement encore 
Il — 1 intégrales. Celles-ci, toutefois, ne sont pas toujours dif- 
férentes de la première, et il est clair que, si l'une d'elles est 
égale à l'intégrale primitive , toutes les autres le seront également. 
A l'aide de cette proposition, on peut souvent, d'une inté- 
grale donnée, en déduire de plus générales. Il convient de 
distinguer alors deux cas , celui où le second membre de l'équa- 
tion (2) est égal à zéro et celui où il ne l'est pas. 
1. ;p{x) = 0. 
Soit f (x) une intégrale de l'équation (2) , équation dans 
laquelle les conditions (3) sont remplies et dont le second membre 
est zéro; f{ax)^ f {a^x) ... f{a^~^x) sont alors également des 
intégrales de cette équation. Désignons ces ,a intégrales, pour 
abréger, par «/j, y.^^ . . y^] pour qu'elles ne soient pas liées 
par une équation linéaire 
^1 ^1 + ^2 ^2 + « • • ^fll/fl = ^^ 
où Cj, C.^ . . C^^ représentent certaines constantes, qui peuvent 
aussi être nulles, il doit être satisfait, comme on sait, à la 
condition que le déterminant suivant ne disparaisse pas : 
y, dy^ \ 
\d x^ dx 
le?" yu dyu 
dx^-^' ' ' ' dx 
OU 
A =/= 0. 
