118 W. KAPTEIJN. QUELQUES REMARQUES SUR LES 
de telle sorte que chacune d'elles contienne ^ — fonctions. 
Si une pareille relation existe , un déterminant de l'ordre — v + l, 
formé de la même manière que précédemment de ces ^ — v-\-l 
fonctions , sera nul. Les r relations existant , v déterminants de 
l'ordre fi — seront donc égaux à zéro. Ceux-ci sont préci- 
sément les déterminants indépendants qu'on peut former en 
négligeant, dans le A formé à l'aide des (a, fonctions, les v — 1 
premières colonnes et en réunissant, ^ — v-\-l à fi — les fi 
lignes restantes, chacune de /i-h/z+l éléments. 
Inversement, si un déterminant formé comme ci-dessus est 
nul , il existe une relation linéaire entre les fonctions qui entrent 
dans ce déterminant. De ce qui vient d'être dit, suit donc cette 
règle : 
Lorsque dans A tous les déterminants de l'ordre p qui peu- 
vent être formés des p dernières colonnes en réunissant chaque 
fois p lignes, sont nuls, il existe fi — p 1 relations linéaires 
entre les fi fonctions t/^, .. y^. 
Si l'on sait , par exemple , que l'équation 
d^y 2d^y 7 y 15dy 16 
dx'^ xdx^ x^ dx^ x^dx x'^ ^ 
est satisfaite par x^ Igoc^ les expressions 
x^ Ig ax^ x'^ Ig u"^ Xy x^ Ig x 
seront également des intégrales de cette équation, puisque, pour 
z:= 1 , les conditions (3) sont remplies. 
Pour le déterminant A on trouve dans ce cas: 
I ly 2 Ig X 2lg X -h 1-, Ig oc ^ 
\ 1, 2?^ a a; +3, 2lgccx-{-l, Ig a x j 
1, 2lg X -hS, 2lg a' X -\- 1, Ig x\ 
1, 2lga^ x-hS, 2 Ig x -h 1, Ig x j 
Ici , tous les déterminants du 3^ ordre qui peuvent être for- 
més des 3 dernières colonnes sont nuls, et par conséquent il 
existe entre les quatre fonctions 2 relations linéaires. 
