ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ORDINAIRES. 119 
Celles-ci sont 
x"^ Ig X — 2 x'^ Ig a X -{- x'^ Ig a - X — 0 
et 
x^ Ig a X ~ 2 x'^ Ig «- x H- x^ Ig x 0. 
Deux de ces fonctions peuvent donc être exprimées linéaire- 
ment au moyen des deux autres, et l'on obtient ainsi, à l'aide 
de l'intégrale donnée, l'intégrale plus générale: 
x'^ Ig X -{- C\ x^ Ig a X 
ou, en posant 
x"^ (C, + Ig x). 
Il est clair que cette intégrale plus générale aurait pu être 
trouvée plus directement, et qu'on aurait aussi pu attribuer à 
(.1 d'autres valeurs que 4 ; c'est comme application de la méthode 
exposée plus haut que la marche suivie a été préférée. 
2. p [x) =/= 0. 
Soit f{x) une intégrale de l'équation (2), équation dans laquelle 
les conditions (3) sont remplies et dont le second membre n'est 
pas zéro; f [a x)^ f [o? x) . , . f [u^^'^ x) sont alors également des 
intégrales de cette équation. 
Si l'on pose 
f{x) + f(ux) + ..f(«>'-^o=) 
= fo (x) 
et 
f{x)-U{x) = F{x\ 
fQ (.^), fonction qui ne change pas lorsqu'on y remplace par ax^ 
est une intégrale de l'équation (2), et F {x), F {a x), . . . F {a^~^ x) 
sont ^ intégrales de l'équation dans laquelle (2) se transforme 
quand son second membre est remplacé par zéro. Si pour ces 
dernières intégrales on détermine de nouveau la fonction A, on 
peut en déduire combien d'entre elles sont dépendantes. Soit v 
ce nombre; l'expression 
f, [x) + C, F[x) + F {a x)-^.. C„F{a'-^ ^) 
est donc alors une intégrale plus générale de l'équation (2). 
