120 W. KAPTEIJN. QUELQUES REMARQUES SUR LES 
Lorsqu'on renonce à la supposition qu'une intégrale particu- 
lière est donnée, le théorème ci-dessus énoncé conduit encore 
à cette importante conséquence : 
Soit une équation (2) satisfaisant aux conditions (3), et dont 
on sache qu^elle a une intégrale pouvant être développée suivant 
les puissances positives et négatives de x; si alors on a p=zO, 
r équation (2) possède une intégrple de la forme 
y — 2: A. 
où le second membre représente une somme de termes obtenus en 
donnant à i différentes valeurs positives entières^ et où n désigne 
un nombre entier; si, au contraire^ on a p =/= 0 ^ (2) possède 
une intégrale de la forme 
y = EA ^ x'^, 
où r désigne un nombre entier^ et A, de même que dans la 
forme précédente , une constante. 
Soit d'abord pzzzO', si alors 
f{x) = A,x''+ A, x"-! + ..A^ + A^^.x-^ + . . . 
est une intégrale de (2), f [ax\ f{a x]^...f(a^ x) sont 
également des intégrales de cette équation. Celle-ci est donc 
satisfaite aussi par 
Substituant dans cette dernière expression les valeurs de fix)^ 
f (a x) etc., et faisant attention aux propriétés des racines de 
l'équation a" =: 1, on trouve immédiatement 
2: A. x""-'^ , 
Soit, en second lieu, p=j=0] si alors, de nouveau, 
f{x) — A^x^'+A^ x""-^ + \+i + • • • 
