ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ORDINAIRES. 121 
est une intégrale de (2), cette équation se trouve aussi satis- 
faite par l'expression 
-\f(.^) + f(« x)+f{a\) + .. f(a''-' x)\. 
fÂ, 
En substituant ici les valeurs de /"(a?), f [a x) ^ etc., on re- 
connaît immédiatement qu'il ne reste que les termes dans les- 
quels les exposants de x sont des multiples de ,u ; cette expres- 
sion devient donc 
n — r fÀ 
Ce qui précède est confirmé par beaucoup d'intégrales con- 
nues d'équations différentielles. 
Dans les équations suivantes, par exemple: 
d"^ y 2x dy n(n-\-\) 
d'x^ 1 — x'^ dx~^ 1 — x^ ^ 
d"^ y 2{m-V-\)xdy [n — m) {n -\- m l) 
d x^ 1 — x"^ dx~^ 1 — x^ ^ 
d^ y l dy 
d x^ xdx 
OÙ w et w représentent des nombres positifs entiers, dont le pre- 
mier est plus petit que le second , on trouve remplies , si a désigne 
la racine primitive — 1 de l'équation «"^ zn 1 , les conditions 
ce {a x) z=p^ (x) 
Les intégrales connues de ces équations, à savoir: 
_ _ n{n—l) n(n--l){n — 2) (n—S) ^ 
2(2n-l)^ 2.4.(2n— l)(2l^-3)^ 
_ n-m - m){n—m—\) g 
2(2w-l) ^ 
{n— m) {n—m — 1) {n—m — 2) (w— m— 3) ,,„^;,_4 
2.4.(2 n—l){2n—S) ^ ~ *' 
y — x 2 . (2 n+ 2) 2 . 4 (2 '/^ + 2) (2 n + 4) ~" • • j ' 
Archives Néerlandaises , T. XYIII. 8 
