124 W. KÀPTEIJN. QUELQUES REMA.RQUES SUR LES 
j'ai montré que l'équation 
Cù X 
où m et w sont des nombres entiers, p une fraction quelconque 
et c une constante, ne peut être satisfaite par un polynôme P 
du degré ^, à moins qu'on n'ait 
i 
n 
(1 4-_p) W -h 1 H- m H- z = 0 et P = 2: A^^, ^x" , 
r étant un nombre positif entier. 
Or, cela découle immédiatement de ce qui précède; car lors- 
qu'un polynôme du degré i peut satisfaire à l'équation , il faut 
qu'après substitution de ce polynôme le coefficient de x^~^^ soit 
zéro, qu'on ait par conséquent 
(1 -\- p) n -h l -|-m + ^ = 0; 
en outre, puisqu'on a, « étant une racine primitive dea*^=l, 
ap,{a x)=p^{x) 
ap (a x) =^p (x)^ 
le polynôme, s'il existe, devra posséder la forme 
2:a x'\ 
r n 
Parfois les coefficients de l'équation (2) sont tels que les con- 
ditions 
a p, {ax)=zp, (x) 
cc^p, {ax)=p^{x) 
p {ax)=p {x) 
sont remplies, quelle que soit la valeur de a. 
