T. .T. STIELTJES JR. CONTRIBUTION A LA THÉORIE ETC. 359 
Un phénomène entièrement analogue se présente dans la 
théorie des résidus biquadratiques. Ici également , la loi générale 
de réciprocité a rapport à deux nombres premiers impairs^ 
c'est-à-dire, non divisibles par 1 + ^, et le caractère de ce 
nombre premier particulier doit être déterminé séparément. 
Dans le Mémoire de Gauss : Theoria residuorum biqtiadraticorum 
commentatio secunda ^ où les nombres complexes entiers de la 
forme a bi furent introduits pour la première fois dans la 
théorie des nombres , le caractère biquadratique de 1 + ^ est 
déterminé complètement. La démonstration y est de nature 
'purement arithmétique et s'appuie essentiellement sur le théorème 
de l'Art. 71 , théorème analogue au lemme formant la base 
tant de la troisième que de la cinquième démonstration de 
Gauss pour la loi de réciprocité dans la théorie des résidus 
quadratiques {Theorematis arithmetici demonstratio nova, WerJce, 
II , p. 1 , et Theorematis fimdamentaUs in doctrina de residuis 
qiiadraticis demonstrationes et ampliationes novae, Werke, II, p. 47). 
Comme on le sait , le troisième Mémoire , dans lequel Gauss 
s'était proposé de donner la démonstration de la loi générale de 
réciprocité, déjà énoncée dans son second Mémoire sur cette 
théorie, n'a jamais paru. 
Les deux premières démonstrations publiées de ce théorème 
fondamental sont celles d'Eisenstein , dans le tome XXYIII du 
Journal fur Mathematik de Crelle, p. 53 et 223. Dans le premier 
article: Lois de réciprocité , il n'a pas traité du caractère de 1 H- i, 
mais bien dans le second article: Ein fâcher Beweis und Verall- 
gemeinerung des Fundamentaltheorems fur die hiquadratischen 
Reste. Eisenstein fait usage, dans l'établissement du carac- 
tère de 1 H- i , de la loi générale de réciprocité démontrée 
antérieurement, ce qui en tout cas paraît peu élégant, vu 
que le passage du simple au composé demande nécessairement 
que le caractère de 1 H- i soit déduit d'une façon entièrement 
indépendante du théorème fondamental. 
La même remarque est plus ou moins applicable à toutes les 
autres méthodes qui ont été employées postérieurement pour 
