360 T. J. STIELTJES JR. CONTRIBUTION A LA THÉORIE 
traiter la théorie des résidus biquadratiques; la marche suivie 
par Gauss pour démontrer le caractère de 1 -\- i est , à mon 
avis, la seule qui puisse être dite purement arithmétique et 
complètement indépendante de la loi générale de réciprocité, 
de sorte qu'elle satisfait , sous ce rapport , aux conditions qui 
devront être imposées à tout développement méthodique de la 
théorie des résidus biquadratiques, prise dans son ensemble. 
Des remarques tout à fait analogues peuvent être faites au 
sujet de la théorie des résidus cubiques. La première démon- 
stration de la loi de réciprocité dans cette théorie — loi énoncée 
par Jacobi — est celle d'Eisenstein , publiée dans le tome XXVII 
du Journal fur Mathemaiik de Crelle , p. 289. La détermination 
particulière du caractère de 1 — q — (où o — est une racine 
cubique complexe de l'unité) n'a été donnée par Eisenstein que 
plus tard , dans le tome XXYIII, p. 28 et suiv. , du même journal. 
Pour cette détermination il fait encore usage de la loi générale 
de réciprocité, et je ne sache pas qu'on ait donné jusqu'ici 
un mode de déduction du caractère cubique de 1 — q dont la 
même chose ne puisse être dite. 
Comme il est à désirer, toutefois, qu'on possède une démon- 
stration du caractère de 1 -h ^ et de l — q entièrement indépen- 
dante de la loi générale de réciprocité, il y aura peut-être 
quelque intérêt à faire voir comment tous ces théorèmes relatifs 
aux nombres premiers 2 , 1 -h ^ et 1 -h , théorèmes nécessaires 
pour compléter les lois de réciprocité, peuvent être démontrés 
suivant une méthode uniforme. 
Le principe de cette méthode consiste à remplacer le nombre 
premier, dont il s'agit de déterminer le caractère, par un pro- 
duit congruent de facteurs. On détermine alors le caractère de 
ces facteurs par des considérations tout à fait analogues à celles 
dont Gauss s'est servi dans les Art. 15 — 20 de son premier 
Mémoire sur la théorie des résidus biquadratiques {Werke, t. Il, 
p. 78 — 87). Gauss n'y a en vue que les nombres réels , et l'objet 
de son Mémoire est la détermination du caractère de 2 dans 
la théorie réelle. Mais j'ai reconnu que tous les raisonnements 
