DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUE8. 361 
de Gauss se laissent reproduire aussi , presque sans changement , 
dans la théorie des nombres complexes, et la détermination du 
caractère biquadratique de l -\~ i s'obtient alors immédiatement 
au moyen d'une considération très simple, suivant laquelle 1 + i 
est congruent avec un produit dont on connaît le caractère des 
facteurs. 
A l'aide de ces remarques extrêmement simples , et étant 
données les recherches du premier Mémoire de Gauss , la déter- 
mination du caractère de 1 H- i par rapport à un nombre premier 
de la forme a -i- bi (où b n'est pas égal à zéro) n'offre plus 
aucune difficulté ; une méthode entièrement analogue peut d'ail- 
leurs être employée dans le cas où le module est un nombre 
premier réel de la forme 4n + 3. Bien que ce dernier cas 
permette une démonstration beaucoup plus simple (voir, par ex. 
Gauss, II, Art. 68), j'ai cru devoir le traiter de la même 
manière que les autres cas, pour faire ressortir que la méthode 
en question suffit à établir l'ensemble des théorèmes. 
Après avoir effectué la détermination du caractère biqua- 
dratique de 1 H- i, je démontre, à l'aide des développements 
antérieurs , tous les théorèmes que Gauss a trouvés par induction 
et énoncés dans l'Art. 28 de la Theoria residuorum hiquadra- 
ticorum commentatio secunda. Si je ne me trompe, cette démon- 
stration est donnée ici pour la première fois Elle est en- 
tièrement fondée sur la théorie des nombres complexes, théorie 
qui joue donc ici un rôle purement auxiliaire, les théorèmes 
eux-mêmes ayant seulement rapport à des nombres réels. Outre 
la loi de réciprocité dans la théorie des résidus biquadratiques , 
la démonstration complète exigeait encore les considérations 
des Art. 19—21. 
Je vais maintenant commencer par déduire le caractère de 
2 dans la théorie des 
Utie partie de ces théorèmes a été démontrée par M. Lebesgue , dans 
le Journal de Liouville, t. IV, p. 51, 52, remarque 1°. 
