376 T. J. STIELTJES JR. CONTRIBUTION A LA THÉORIE 
Tous les nombres de B\ C" D' font partie d'une des classes 
A, (7, D, de sorte qu'on a: 
(1.0) -h (1.1) + (1.2) H- (1.3) — 2^ 
(2.0) + (2,1) + (2.2) 4- (2.3) = 2n 
(3.0) + (3.1) + (3.2) + (3.3) z=i2n 
Ces quatre équations se réduisent aux trois relations suivantes 
entre h ^ j , k ^ l et m: 
h-\-j-i-k-hl = 2n — 1 
k m z=z n. 
9. Enfin , une nouvelle relation , non linéaire , entre A, k^ l, m 
s'obtient encore par la considération du nombre des solutions 
de la congruence: 
« + (5 + 7 + 1 = 0 mod. i¥, 
où / doivent être choisis de toutes les manières possibles 
dans les classes A, C. 
Si l'on prend d'abord pour a successivement tous les nombres de 
A, il arrive respectivement k, Z fois que « + 1 appartienne à 
4, 5, C, D, et le cas unique de « + 1 1= 0 peut être négligé, 
vu que la congruence (5 + / ~ 0 n'admet aucune solution. 
Pour chacune des h valeurs qui rendent a+l — cc^j, l^et/ 
doivent alors être choisis de façon qu'on ait: 
«o+(5 + 7=0. 
Le nombre des solutions de cette congruence (pour une valeur 
donnée de «g) estrrm, comme on le reconnaît immédiatement 
en la multipliant par «y', ce qui la transforme, à cause de 
— 1 mod. M, en : 
1 + (?' + / ~0. 
Comme ce raisonnement est applicable à chacune des h valeurs 
qui font que « + I appartient de nouveau à A , on obtient de 
cette manière hm solutions de la congruence: 
1 + « + (5 + / ^ 0. 
