380 T. J. STIELTJES JR. COXTRIBUTIOX A LA THÉORIE 
J)e = A- il suit donc nécessairement: 
A z= ± q, B z= 0, 
et comme .4=1 mod. 4 , le signe de A se trouve complètement 
déterminé et on a: 
A = — g =z M. 
A et B étant ainsi trouvés , on a finalement : 
Sh z= 
4 n 
— 3i¥ — 
5 
87 = 
4 n 
^ M — 
1 
8^- = 
4n 
+ M - 
1 
8^ = 
4 n 
-h M - 
1 
8m z= 
An 
~ M + 
1, 
où 8w 4- 1 = M^, 
Par ces formules, la dépendance entre les nombres du 
tableau S et le nombre premier M est donc exprimée de la 
manière la plus simple, dans le cas où }l appartient à la pre- 
mière classe du paragraphe 4. 
12. Si, en second lieu, on suppose }l a ^ h i ^ où 
a — l = b ^ 0 mod. 4 et où la norme u — a- H- 6- est 
un nombre premier réel, on a donc: 
u^a"- 4- — A' -T- B\ 
Or , un nombre premier de la forme 4 A- -}- 1 ne peut être 
représenté que d'une seule manière par la somme de deux carrés , 
et comme a et A sont tous les deux = 1 mod. 4, il s'ensuit 
.4=0, B—±h. 
Le signe de B est déterminé par les considérations suivantes , 
qui demandent la démonstration préalable de cette proposition 
auxiliaire : 
„ Lorsque z parcourt un système complet de résidus mod. J/, 
à l'exception du terme divisible par J/, on a 
2\c^ = — 1 ou "EE 0 mod. M 
suivant que t est divisible ou non par ,a — 1". 
