DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 381 
La première partie de cette proposition est évidente , car si 
t est divisible par — 1 , on a 0^ =: 1 , donc 2^ 2^ ~ — 1 
= — 1 raod. M. 
Pour démontrer aussi la seconde partie, soit g une racine 
primitive pour le nombre premier if, de sorte que les valeurs 
parcourues par z soient congrues avec 
Il en résulte: 
Z z^'rEE \ + g"^^ + . . + gi^'-^)^ mod. M 
ou 
{l —gt) z 1 — g C'*-i)^ E= 0 mod. M. 
Or, si t n'est pas divisible par f^ — 1 , l — g^ n'est pas di- 
visible par ilf, et on a par conséquent 2Jz^~0 c. q. f. d. 
Cette proposition auxiliaire est évidemment valable pour un 
nombre premier M quelconque. 
D'après le développement binomial, on a maintenant 
a_.l (/ — 1 
d'où il suit , lorsque le signe 2: se rapporte aux mêmes valeurs 
de z que tout à l'heure, 
</-! 
2 (02 + 1) ^ ^ — 1 mod. M. 
Mais, d'un autre côté, les nombres z^ , dans leur ensemble, 
forment évidemment tous les nombres des groupes A et (7, 
chacun de ces nombres étant pris deux fois. Des nombres 
z"- H- 1 
il y en a donc 2 (0.0) + 2 (2.0) qui appartiennent à A 
2(0.1) H- 2(2.1) , , , B 
2 (0.2) + 2 (2.2) , „ , C 
2 (0.3) + 2 (2.3) , „ „ i) , 
et comme les puissances — j — des nombres de A, B , C, D 
