386 T. J. STIELTJES JR. CONTRIBUTION A LA THÉORIE 
OU, à cause de 
4 m = 2 (h -\- m) —2 (h — m) z= 2 n — 2 (h — m) ^ 
en 
0 = 4{h — — 2n -\-2 [h — m) — 1 -h U — ly 
et finalement en: 
^ = 8w + 5 = (4 (/i — m) + 1)2 + 4(y — i 
pour 
A=:4:{h — m)-i-l,Bz=2j — 2l, 
on a donc: 
Au moyen de A et jB il est maintenant facile d'exprimer 
j\ A;, Z, de la manière suivante: 
Sh = 4:n + A — l 
Sjz=An-hA-{-2B~S 
8A; = 4w — 3A-h3 
SI =4^4-^ — 25 + 3 
8m= — A H- 1 
Reste encore à déterminer A et B. Or ,u , nombre premier 
réel de la forme 4 w H- 1 , ne peut être représenté que d'une 
seule manière par la somme de deux carrés, et comme 
M=a + bi, 
on a 
^ = + &^ 
où 
a = — 1, 6=2mod. 4. 
De là résulte donc: 
A = -' a et B = ±h. 
Le signe de B s'obtient par une considération analogue à 
celle du paragr. 12. 
On trouve aisément: 
^ (^2 + 1)^^'" = — 1 = 2 [h — h) + 2i{j -l) mod. M. 
Or: 
2[h~k) = A — \,2[j — l)z=zB, 
