388 T. J. STIELTJES JR. CONTRIBUTION A LA TFIÉORIE 
ou: 
8h =4n — a— 1 
8; —4n — a-~2b-i-S 
8 k =4n-{-Sa-\-S 
8 l =4n — a + 2è + 3 
8m = 4n + a + 1. 
Ainsi qu'il ressort de ces formules, le changement de b en 
— b correspond à une permutation de j et l , tant dans le cas 
de ju = 8 M H- l , que lorsque ^ 8 n 5. 
D'après les congruences du paragr. 5, on a, dans le cas 
f^ = 8n-\- 1, pour le caractère de 1 -j- i suivant le mod. 4: 
^ (3.1) H- 2 (3.2) H- 3 (3.3) z=z 3 m -h S j EE — m—j, 
et pour celui de 1 — i: 
EE (1.1) + 2 (1.2) -h 3 (1.3) = l-i-bm^l-^m, 
donc , pour M= — q: 
— 7' — 1 
Caractère (1 -i- i) ~ — nz:: — — g — 
Caractère (1 — i) — nz=z — 5— . 
o 
^ H- 1 ^ — 3 
Or , — — et — - — sont des nombres entiers consécutifs ; leur 
'44 ' 
1) (^ _ 3) 
produit est donc pair et g est divisible par 4 , de 
sorte qu'on a : 
g^— 1 _ (g+1) (y-3) _ q_-r\ 
8 — 8 8 — ^~ 4 ' 
par conséquent 
((^')) = (Ci-)) 
et, vu que — 1 est résidu biquadratique , 
((=T-')) = ((t^O) = 
