DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 393 
tient à ce que dans ce cas on ne peut pas former, avec des 
nombres réels, un système complet de résidus. 
L'observation que la division en quatre classes A, C, D, 
effectuée par Gauss dans son premier Mémoire, est identique 
à celle faite d'après le caractère biquadratique par rapport au 
module a -\- b i, fournit aussi le moyen de déduire immédiatement 
tous les théorèmes que Gauss a trouvés par induction dans son 
second Mémoire, Art. 28, mais dont, à ma connaissance , aucune 
démonstration n'a encore été donnée jusqu'ici. 
Ces théorèmes sont relatifs à la présence d'un nombre premier 
réel m dans les quatre classes A, D, ou, d'après ce qui 
précède , au caractère biquadratique de m par rapport au 
module a-h bi. 
17. Je vais reproduire maintenant les remarques formulées 
par Gauss dans l'Art. 28. Le module premier p — fi étant 
supposé de la forme 4 -f 1 , il s'agit maintenant , d'après ce qui 
a été dit au paragraphe précédent, de déterminer la valeur 
du symbole 
(C+6i)) 
où m est un nombre premier réel ; la circonstance que , pour 
jtt = 8w-l-5, a et b ont chez Gauss un signe différent de celui 
des valeurs du paragraphe 14, n'a aucune influence sur l'énoncé 
des théorèmes. Le nombre premier m recevra un signe tel qu'il 
soit toujours ^ 1 mod. 4 , donc le signe moins lorsque , pris 
positivement , il est de la forme 4 A; + 3 — Ç ; quant à un nombre 
premier positif de la forme 4 A: 4- 1 , il sera représenté par P. 
Les remarques de Gauss peuvent alors être exprimées de cette 
manière : 
I. Lorsque a ^ 0 mod. (m) , la valeur de ^ (^ a -\- b i) ) 
=r: -f- 1 ou — — 1 ; elle est égale à -i- 1 si m a la forme 8r ± 1 , 
égale à — 1 si m a la forme 8 r ± 3, 
