394 T. J. STIELTJES. CONTRIBUTION A LA THÉORIE 
II. Lorsque a n'est pas divisible par m , la valeur du symbole 
dépend uniquement du nombre complètement déterminé qui 
satisfait à 
è ~ ax mod. m. 
Pour m=: X peut prendre ici les valeurs suivantes : 
0, 1, 2, 3 .... P- 1, 
à l'exception des deux valeurs / et P — / qui satisfont à 
t/y ^ — 1 mod. P. Ces deux valeurs ne peuvent évidemment 
pas se présenter , car de b'E. aij il résulterait 
^ — ou b'^ = p ^ 0 mod. P , 
c'est-à-dire que p devrait être divisible par P, 
Pour m = — Ç , au contraire , x peut prendre toutes les valeurs 
0, 1, 2, 3 .... Ç - 1. 
Ces valeurs de x peuvent être réparties en 4 classes «, /5, y, ô, 
de telle sorte que, 
pour au mod. m , la valeur du symbole soit z=i 1 
b — ciy „ „ „ „ „ „ = 1 
ou, ce qui revient au même, que dans ces cas m appartienne 
respectivement aux classes A, B, C, D. 
Or, en ce qui concerne la quotité des nombres a, |5, /, ^, 
existe cette règle : que 3 de ces quotités sont égales , tandis que 
la 4'ènie est plus petite d'une unité; d'ailleurs, cette quatrième 
quotité est celle des « lorsque , pour a ~ 0 , m appartient à A , 
et celle des / lorsque , pour a ^ 0 , w appartient à C. 
18. Soit donc, en premier lieu, — Ç; d'après la loi 
de réciprocité , on a alors : 
