DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 431 
38. A ce sujet, il convient encore de remarquer ce qui suit. 
Parmi les nombres a b c a' b' c' ne se trouve pas l'un des deux 
nombres — /', — g. Supposons que ce soit — de sorte que 
— g s'y trouve. Il n'en est alors pas moins évident que cette 
valeur — g ne peut se présenter nulle part dans l'une des con- 
gruences ci-dessus car , de 1 H- a ^ E 1 -H a' (> ou a z=: a'o 
par exemple, il suivrait , pour az=. — g ^ a' ~ a q'^ — q"^ ~ — f 
(puisque /= et g q mod. A + ^ ç); or , la valeur a' ~. — / 
ne se présente pas. Comme, parmi les valeurs à prendre pour 
ic, ne se trouvaient ni — f m — ^ , il en ressort avec évidence 
que les expressions ci-dessus données pour u et v sont réelle- 
ment exactes, lorsque les nombres a, a\ b, b\ c, c', qui 
entrent dans les congruences , soit choisis de toutes les manières 
possibles dans les groupes a, a', a" , . 6, b\ 6",. . c,c\c". . 
En introduisant, au lieu de a, 6 etc., les nombres « ~ 1 -\- a 
p = 1 -\- b Q , on trouve, par exemple, que 
a — a' Q se transforme en q (« — 1) ~ a' — 1 
ou 
a — Q a:=: 1 — q , 
et en agissant de même avec les autres congruences , on obtient 
les expreKSsions suivantes: 
t = somme des nombres de solutions de : 
oc' — Q a=.l — Q mod. (A -i- B q) 
u = somme des nombres de solutions de : 
a — = 1 — Q mod. (A + Bq) 
P ~ Q r~ 1 — Q „ 
r — Qcc^l — Q „ 
V =r somme des nombres de solutions de : 
a — Q y 1^ l — Q mod. {A -\- B q) 
