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JAN  DE  VRIES. 
§ 1. 
1.  Les  coordonnées  homogènes  de  la  courbe  du  troisième 
degré,  à équation  canonique 
a:,3  + x23  -(-  .z33  = cx}  x2  , (1) 
peuvent  être  représentées  de  la  manière  suivante  par  des 
fonctions  doublement  périodiques  d’un  paramètre  réel  u '): 
qx  , —0  j 
QX  2 O | 
qx  3=:^, 
(u — (w—  |(2o>+w («-|(2 »-»')) 
(u+lwjtf,  ^tH-'(2o>+w')^6ll  (w+|(2  co— <o')  j ^ .(2) 
(w)âl  (u— -|-co' j<9,(u+-i-co' j 
Par  suite  de  cette  substitution,  les  paramètres  ui  {%  = 1 
jusqu’à  3 n),  qui  correspondent  aux  points  d’intersection  de 
la  courbe  avec  une  courbe  du  degré  n,  doivent  satisfaire  à 
la  congruence  2) 
ut  -i-  u2  + + ...  + u^n  = 0 (mod.  co,  co')  . . . (3) 
Pour  les  points  d’inflexion  réels  on  a donc  3 u — 0 (mod.  w), 
de  sorte  qu’ils  sont  indiqués  par  les  paramètres  0,  -i  co  , 
2 
3 ft,‘ 
Comme  je  ne  veux  relier  chaque  point  de  la  courbe  qu’aux 
autres  points  de  la  même  branche,  les  paramètres  ne  sont 
comparés  qu’au  module  co,  de  sorte  que,  dans  la  courbe  à 
deux  branches,  la  serpentine  seule  est  considérée  ; les  résultats 
obtenus  se  laissent  facilement  étendre  aux  points  de  l’ovale. 
1)  Voir:  Bobek,  Einleitung  in  die  Théorie  der  elliptischen  Functionen 
(Teubner,  1884),  p.  249. 
2)  Comp.  Bobek,  p.  253,  où  est  démontrée  aussi  la  Réciproque  de  cette 
propriété. 
