POLYGONES  CYCLIQUES,  ETC. 
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rinvolution,  et  par  conséquent  x -{-y  H-  t = 0,  les  points  du 
groupe  en  question  ont,  à cause  de  (3  s — 2)  u = t,  le  point  t 
commun,  et  forment  un  groupe  central  de  l’ordre  s !). 
De  ce  qui  précède,  il  suit  que  r doit  être  plus  grand  que 
n ; cela  est  vrai  aussi  pour  le  produit  Q{p)Q[q)\  en  effet,  si 
l’on  pose  oc  = (3  (r),  de  sorte  que  u1=ul  -+-  $ co  : q (p)  q ( q ),  il 
faut  que  u2  fournisse  un  w-gone  proprement  dit,  ce  qui  n’est 
possible  que  si  q (i)  peut  prendre  au  moins  n — 1 valeurs 
différentes,  incongruentes  suivant  le  module  q (p)  q (q). 
Le  groupe  cyclique  renfermera  donc,  puisque  r diffère  tou- 
jours de  1,  trois  sortes  de  n-gones  cycliques,  savoir  : des  n-gones 
dont  les  sommets  appartiennent  à un  groupe  de  r points  ; des 
n-gones  à sommets  faisant  partie  d’un  groupe  de  o(p)  ç(q)  points, 
déterminé  dans  le  groupe  cyclique  lorsque  chaque  point  d’un 
groupe  correspondant  à un  p-gone  est  complété  de  manière  à 
former  un  groupe  appartenant  à un  ^-gone  (ou  réciproque- 
ment) ; enfin,  des  w-gones  qui  ne  sont  pas  compris  entièrement 
dans  l’un  de  ces  groupes. 
14.  Un  cas  intéressant  est  celui  où  Q(n)  contient  le  carré  de 
de  ( )(p ) et  où  p est  un  facteur  simple  de  n.  Si  l’on  pose 
g(n)  — cQi) 2(p)  et  a = c,  on  a u2  = ux  + (5  œ : g2(p),  et  le  point 
u2  détermine  un  n-gone  dont  les  sommets  appartiennent  à un 
groupe  de  o2(j?)  points,  composé  de  ç(p)  groupes  cycliques; 
on  s’en  assure  en  remplaçant  par  / Q {p)  + è,  ce  qui  donne 
u2=ux  -h  y co  : q(p)  + S co  : ç2(p),  où  y = 1 jusqu’à  ç(p)  et  de 
même  ô = 1 jusqu’à  q (p).  Pour  une  valeur  déterminée  de  è 
on  obtient  alors,  par  les  différentes  valeurs  de  /,  un  groupe 
cyclique  appartenant  au  polygone  à n sommets. 
Pour  faire  voir  que  le  cas  en  question  se  présente  réelle- 
ment, j’intercale  ici  la  démonstration  d’une  propriété  générale 
de  la  théorie  des  nombres. 
i)  Ce  qui  est  dit  ici  du  groupe  de  r points  s’applique  naturellement 
aussi  aux  groupes  de  o(^)  et  de  y(q)  points. 
Archives  Néerlandaises,  T.  XXV. 
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