72 
J.  C.  KLUYVER. 
on  pourra  construire  une  surface  réglée  du  second  degré, 
contenant,  outre  la  courbe,  les  droites  1 et  2 De  même,  une 
seconde  surface  réglée  est  déterminée  par  la  courbe  et  ses 
tangentes  3 et  4.  Les  deux  surfaces  se  coupent  encore  suivant 
une  corde  z de  i?3,  corde  qui,  puisque  3 touche  la  surface 
(12  2),  sera  tangente  à la  surface  réglée  (321).  Pour  une  raison 
toute  pareille,  les  surfaces  réglées  (234),  (314)  et  (124)  auront 
également  la  corde  2 pour  tangente. 
Réciproquement,  il  est  clair  que,  si  ces  quatre  systèmes 
réglés  possèdent  une  tangente  commune  z,  l’intersection  de 
deux  hyperboloïdes,  tels  que  (12  a)  et  (34  z),  fournira  une  R 3 
tangente  à 1,  2,  3 et  4. 
Cherchons  donc  à trouver  des  droites  z qui  présentent  la 
propriété  en  question.  Désignons  par  y une  droite  quelconque 
du  système  réglé  (321),  et  remarquons  que  ses  coordonnées 
Py,  . . . % sont  à considérer  comme  des  fonctions  linéaires  des 
coordonnées  px, . . . ulf  p2, . . . u2 , p3^  . . . us  des  droites  don- 
nées, de  sorte  que  nous  pouvons  toujours  admettre  six  rela- 
tions de  la  forme 
Vy  = R , P,  +R1P2+  R3p3, 
ny  zr  R ^ u , +i^2Wj+  R 3 u3. 
En  effet,  pour  toute  droite  x,  pour  laquelle  on  a (1  x)  zz  0, 
(2  x)  = 0,  (3  x)  — 0,  il  en  résultera  (y  x)  zz  0.  Les  coefficients 
variables  R1}  R.2  et  iü3,  qui  entrent  dans  ces  équations,  doi- 
vent toujours  remplir  la  condition 
R2  Rz  (23)  + JR 3 R,  (31)  + ■Rl  R2  (12)  = 0, 
parce  que,  entre  les  coordonnées  py, . . . uÿ)  il  existe  la  relation 
Pv  % + h “b  ry  sy  = 0* 
Chaque  droite  2 coupe  deux  droites  y du  système  réglé.  On 
peut  en  effet,  par  la  résolution  des  équations 
[y  2)  z=  Rx  (1  z)  + R2  (2  2)  + R 3 (3  2)  = 0, 
R2  R 3 (23)  -h  R,  R,  (31)  + Rt  R2  (1  z)  = 0, 
obtenir  deux  systèmes  de  valeurs  pour  Rn  R2  et  R3. 
