SUR  DES  SYSTÈMES  DE  RAYONS,  ETC. 
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analytique  de  ces  surfaces.  Les  coefficients  i?4  y font 
l’office  de  paramètres  variables. 
5,  Nous  chercherons  maintenant  une  construction  géomé- 
trique pour  les  droites  g'  et  g " de  l’art.  3 et  en  déduirons  la 
construction  des  hyperboloïdes  H.  Comme  il  importe  de  bien 
distinguer  l’une  de  l’autre  ces  huit  surfaces,  qui  d’ailleurs 
doivent  être  trouvées  toutes  ensemble,  il  convient  de  faire 
reposer  cette  construction  sur  une  base  algébrique. 
Prenons  donc  le  système  réglé  (321)  et  cherchons-y  les 
droites  g ' et  g"  qui,  suivant  le  tableau  de  l’art.  3,  sont  suc- 
cessivement communes  à //,  et  H 5,  à H2  et  Fl Q)  à,  H 3 et  H7, 
à Z/4  et  FF 8. 
Commençons  par  exprimer  les  coordonnées  de  chaque  droite 
y du  système  réglé  en  fonctions  linéaires  des  coordonnées  des 
droites  1,  2 et  3.  On  y parvient,  d’après  l’art.  2,  en  posant 
Py  — Pi  + RiVi  H" 
Uy  zzr  R i u j H-  R 2u  2 -H  R 3 u 3 , 
R2R3  (23)  + R3Rl  (31)  + RtR%  (12)  = 0. 
A la  dernière  de  ces  équations  il  est  satisfait  par  les  coeffi- 
cients variables  Jf?,,  R2  et  /?3,  si  l’on  admet  la  relation 
R | R 2 ü3 
_ 2'(7-l)  (23)  “ ^-iy  (3T)  ~ 20^-1)  (12)  ' 
Ces  coefficients  deviennent  ainsi  des  fonctions  quadratiques 
d’un  seul  paramètre  y,,  et  nous  avons 
Vy  = — 2 (y, — 1)  (23)  p1  + {g2  — 1)  (31) p2  -h  2 (g  -h  1)  (12)p3 
uy  = - 2 0*— 1)  (23)  u4  H-  (g2—  1)  (31)  ^ + 2 (g  + 1)  (12 )u3. 
En  même  temps  se  trouve  alors  adjointe  à chaque  droite 
y une  valeur  unique  de  g,  et  réciproquement;  aux  droites  1, 
2 et  3 correspondent  respectivement  les  valeurs  — 1,  co  et 
H-  1 du  paramètre. 
Nous  déterminons  les  deux  droites  h'  et  h " du  système  réglé 
qui  coupent  la  droite  4,  et  posons  donc 
