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J.  C.  KLUYVER. 
On  peut  démontrer  que,  n’importe  de  quelle  manière  soient 
pris  les  éléments  1.  2,  3,  h'  et  h",  les  involutions  de  chaque 
groupe  ont  un  couple  d’éléments  commun.  Montrons-le,  par 
exemple,  pour  le  troisième  groupe,  et  calculons  en  même 
temps  les  valeurs  du  paramètre  pour  ce  couple  d’éléments. 
Les  valeurs  de  (u  étant  connues  pour  les  éléments  V , Z", . . . n'\ 
nous  pouvons  assigner  les  formes  binaires  qui  correspondent 
aux  couples  m"  n\  ri  Z',  Z'  m",  11,  22  et  33.  On  trouve  comme 
telles 
n‘l  iybc  4-  ^ ab)  + 2 lu.(— — 1 ^ c a)  4-j 
+(2a+V/6c— 21^—  ^aby,  pourm'Vetll. 
u 2 \^bc  - h 2 tu  l^bc  4-  l^ôc 
4u2  b 4-  2 u ( — — 1 ^ab)  4-  j 
4-  (— b— Z^bc+^m  + Z^âb)^  pour  n'  V et  22, 
0 . ,u 2 4r  0 . (u  4- 
g,2  (y'bc  4-  ^ a b)  4-  2 g (— c — ^ ca — 1 ^ab)  4-j 
4-(— 2c— ^^4-2^04-^06),  | pour  V m"  et  33. 
g2  a6 — 2 g ^ ab  4-  ^ ab 
En  soustrayant,  dans  chaque  couple  de  formes,  la  seconde 
de  la  première,  on  arrive,  après  une  légère  simplification,  à 
g2  1^6  4-  2 fi  (—l^â  -l sQ)  4-  (2  l^â— 1^6— 2 l^c). 
D’après  les  équations  (D),  les  éléments  indiqués  par  cette 
forme  sont  les  directrices  communes  g'  et  g " des  hyperboloïdes 
H 3 et  H7.  Ces  droites  sont  donc  les  éléments  communs  des 
involutions  du  groupe  III. 
On  peut,  sans  beaucoup  de  peine,  étendre  cet  examen  aux 
autres  groupes  et  parvenir  à la  conclusion  que  les  éléments 
communs  des  involutions  du 
groupe 
I \ 
ii/ 
111  \ 
IV 
indiquent  les  directrices  g'  et  g'\ 
communes  aux  hyperboloïdes 
| H i et  i/5 
\ H2  et  77  G 
I Ho  et  ti7 
\ H n et  II 8 
