SUR  DES  SYSTÈMES  DE  RAYONS,  ETC. 
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Les  éléments  h ',  h",  Z', . , . . n",  que  nous  avons  rencontrés 
clans  les  considérations  précédentes,  peuvent  être  déterminés 
par  construction  géométrique.  La  recherche  des  droites  g'  et 
g"  se  laisse  donc  également  exécuter  par  la  voie  graphique. 
Si  les  constructions  nécessaires  à cet  effet  sont  répétées,  mais 
cette  fois  par  rapport  au  système  réglé  (124),  on  trouve 
quatre  directrices  de  chaque  hyperboloïde  //;  ces  surfaces 
elles-mêmes  sont  alors  construites. 
6.  Cherchons  maintenant  dans  quelles  circonstances  les 
deux  droites  g'  et  g"  d’un  couple  pourraient  se  confondre. 
Pour  cela,  calculons  les  discriminants  tant  pour  les  quatre 
équations  (D)  que  pour  les  12  autres,  qui  ont  une  significa- 
tion analogue  par  rapport  aux  systèmes  réglés  (234),  (314), 
(124).  Dans  le  tableau  suivant  sont  consignés  les  résultats 
de  ce  calcul. 
Discriminants. 
(234) 
(314) 
(124) 
(321) 
a -f-  b -f-  c — 2 b c — 2 c a — 2 a b 
H,  H, 
H,HS 
H,  H, 
U,  H, 
a -f-  b -f-  c 4-  2 b c- f-2  c a — 2 a b 
HtH, 
HtH, 
H.t  H , 
a -|-  b -f-  c -f-  2 L 'b  c — 2 c a- f-2  a b 
h„h6 
HtH6 
H,He 
ct~\-b  -f-  c — 2 b c- f-2  c a -f-2  a b 
H,HS 
h,h5 
HtHr, 
Les  16  équations  en  question  ne  possèdent  en  tout  que 
quatre  discriminants  différents,  qui  sont  inscrits  dans  la  pre- 
mière colonne.  Dans  les  colonnes  suivantes,  on  trouve  indiqué, 
pour  chacun  des  quatre  systèmes  réglés  (234),  (314),  (124), 
(321),  à quel  couple  d’hyperboloïdes  H se  rapporte  le  discri- 
minant placé  en  tête  de  ligne. 
Dès  l’abord,  il  saute  aux  yeux  que  les  quatre  discriminants 
sont  les  facteurs  de  l’invariant  F,  et  que  les  hyperboloïdes  17,, 
H e,  H7  et  Hs  se  comportent  tout  autrement  que  les  autres. 
On  reconnaît,  en  effet,  que,  pour  L=0,  il  y a toujours  une 
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