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J.  C.  KLUYVER. 
de  ces  quatre  surfaces  dont  les  génératrices  z toucheront  les  sjts- 
tèmes  réglés  (234),  (314),  (124)  et  (321).  Les  droites  z des  hyper- 
boloïdes  Hn  Ii 2,  H3  et  i?4,  au  contraire,  ne  peuvent  jamais 
être  des  tangentes  communes  de  ces  systèmes  réglés.  Or,  il 
est  maintenant  facile  de  voir  comment  on  trouvera  géométri- 
quement si  quatre  droites  données  peuvent  être  tangentes  à 
une  R3.  On  n’a  qu’à  chercher  les  directrices  g'  et  g"  qui  sont 
communes  aux  hyperboloïdes  H et  au  système  réglé  (321).  Si, 
pour  un  de  ces  hyperboloïdes,  par  exemple  pour  //4  et  Hè, 
les  droites  g'  et  g " coïncident,  on  achève  la  construction  i/„. 
Prend-on  ensuite  sur  Z/8  une  génératrice  quelconque  z,  les  hyper- 
boloïdes (23z)  et  (14z),  (31z)  et  (24z),  (12z)  et  (34z)  se  couperont 
deux  à deux  suivant  des  courbes  R*f  tangentes  à 1,2,  3 et  4. 
Le  système  complet  de  ces  courbes  s’obtient  en  faisant 
parcourir  à la  droite  z la  surface  Hs. 
On  peut  du  reste,  comme  le  remarque  M.  Voss,  déduire 
de  l’une  des  R 3 tangentes,  par  une  construction  assez  simple, 
toutes  les  autres. 
7.  Avant  de  passer,  toutefois,  à l’examen  du  cas  particulier 
r = 0,  nous  signalerons  une  propriété  assez  intéressante  des 
hyperboloïdes  H. , //6,  H7  et  //8,  qui  met  encore  mieux  en 
lumière  la  différence  entre  ces  quatre  surfaces  et  les  quatre  au- 
tres. Les  quatre  droites  données  peuvent  être  disposées  par  cou- 
ples de  trois  manières  différentes.  Chacune  des  combinaisons 
ainsi  obtenues,  par  exemple  (23  ; 14),  détermine,  comme  nous 
le  verrons,  ce  qu’on  appelle  un  système  focal  d’ordre  supérieur. 
En  parlant  de  pareils  systèmes,  nous  avons  en  vue  un  rapport 
par  lequel  à chaque  point  est  conjugué  un  plan  passant  par 
ce  point,  à chaque  plan  un  point  situé  dans  ce  plan.  Le 
système  focal  est  dit  du  premier  ordre  lorsque  aux  points 
d’une  droite  correspondent  les  plans  d’un  faisceau  et  réci- 
proquement. 
En  ce  qui  concerne  maintenant  la  combinaison  (23  ; 24), 
observons  que  par  chaque  point  passe  une  droite  coupant  2 
et  3,  ainsi  qu’une  deuxième  coupant  1 et  4.  Le  plan  de  ces 
