92 
J.  C.  KLUYVER. 
Si,  pour  abréger,  on  pose 
a“  ^23,  ^ |J  C — 1 2 > 
/ ”=  ^12^31  ^ 2 3 ^ I 1 J 9 = ^23^12  ^31^22? 
/i  ^3  | ^2  3 ^12  "^33* 
ces  trois  équations  pourront  être  remplacées  par  les  suivantes  : 
0—  a R 3 1 4 ^124  ^12  4 ^2  3 4 # ^ 2 3 4 ^314  > 
0—  ^3  14  ^|24  +^^124  34  / ^ 2 3 4 ^3l4) 
^ = 9 ^ 2 \ i ^124  /^1  24  ^2  3 4 + C ^2  2 4 ^34  4* 
Or,  ces  dernières  équations  ne  peuvent  subsister  simulta- 
nément, à moins  qu’on  n’ait 
a — h — g 
A' = — à 6 — / =a6c — a/2  — 6#2 — cà2 — 2/#à  ===  0 . . . (H) 
-*-/  « I 
Par  là,  les  relations  (F)  entre  les  quatre  formes  sont  fina- 
lement ramenées  à quatre  conditions  de  la  forme  A'  = 0,  dans 
lesquelles  il  n’en  entre  chaque  fois  que  trois.  Ces  quatre  con- 
ditions n’équivalent,  bien  entendu,  qu’à  trois  relations  indé- 
pendantes. Il  est  facile  d’indiquer  des  formes  spéciales  qui  y 
satisfont;  par  exemple,  en  partant  de  la  supposition 
f = g = h. 
Veut-on,  dans  ce  cas,  avoir  des  formes  réellement  différen- 
tes, dont  les  discriminants  ne  s’annulent  pas,  et  dont  il  n’y 
en  ait  pas  trois  en  involution,  il  faut  prendre  a = — 2, 
2 
f = -i-— on  arrive  alors  aux  quatre  formes  dites  du  cube  *), 
O 
dont  le  produit  est  représenté  par 
x y ( x 6 — 8 a?3  y3  — 8 ?/6), 
et  qui  satisfont  aux  relations  identiques 
/,  +/,  +/3  +/«  =0,  / ,2  +U  +/**  = o. 
i ) Gordan-Kerschensteiner,  Vorlesungen  über  lnvariantentheorie,  II,  p.16'1 , 
