SUR  DES  SYSTÈMES  DE  RAYONS,  ETC.  95 
question,  les  six  droites  menées  des  sommets  aux  points 
d’intersection  de  la  conique  avec  les  côtés  opposés  passeront 
trois  à trois  par  deux  points. 
11.  L’étude  précédente  a donc  fait  voir  comment  on  peut 
distinguer  par  une  construction  géométrique  les  cas  r = 0, 
-T>"  0,  et  comment  se  trouvent  les  différentes  figures  cova- 
riantes qui,  dans  le  premier  cas,  engendrent  les  courbes  R3 
tangentes  aux  droites  1,  2,  3 et  4.  Peut-être  y a-t-il  quelque 
intérêt  à nous  arrêter  encore  un  instant  au  cas  r = 0. 
Admettons  qu’aux  génératrices  z de  l’hyperboloïde  H% , dans 
chacun  des  trois  systèmes  focaux,  soient  adjointes  des  cour- 
bes tangentes  à 1,  2,  3 et  4.  Ces  courbes  forment,  comme 
on  l’a  vu  à l’art  9,  une  surface  réglée  unicursale  FG , qui  a 
les  droites  1,  2,  3 et  4 pour  génératrices  doubles,  et  leurs 
deux  transversales  f'  et  /"  pour  droites  triples.  Mais  ici, 
à cause  de  f = 0,  la  surface  FQ  présente  une  particularité 
nouvelle:  les  génératrices  doubles  sont  devenues  des  arêtes 
de  rebroussement. 
En  effet,  dans  la  droite  1,  par  exemple,  deux  nappes  de  la 
surface  se  rencontrent,  et  chacune  des  courbes  R3  doit,  au 
point  où  elle  touche  cette  droite,  pouvoir  passer  de  l’une  des 
nappes  sur  l’autre.  Cela  exige  qu’en  ce  point  les  plans  tan- 
gents aux  deux  nappes  coïncident  avec  le  plan  osculateur 
de  la  courbe,  d’ou  résulte  que  la  droite  1 devient  effective- 
ment arête  de  rebroussement. 
En  outre,  les  droites  /'  et  / " sont,  par  rapport  à chaque 
courbe  P3,  des  polaires  conjuguées,  de  sorte  que  chaque 
génératrice  z de  FG  doit  être  considérée,  pour  toutes  les 
courbes,  comme  un  rayon  d’osculation. 
Le  plan  osculateur  en  un  point  quelconque  de  l’une  des 
courbes  contient  donc  toujours  une  génératrice  et  est  par 
suite,  au  point  considéré,  tangent  à F 6.  De  là  vient  que, 
suivant  la  remarque  de  M.  Voss,  les  courbes  R3  forment  les 
courbes  asymptotiques  de  la  surface  F6 . 
