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J.  C.  KLUYVER. 
contre  sur  les  deux  transversales  communes  de  ces  quatre 
tangentes. 
13.  Finalement,  nous  déterminerons  encore,  pour  le  système 
des  courbes  tangentes  R 3,  les  nombres  caractéristiques  les 
plus  simples.  Comme  tels,  sont  immédiatement  connus  les 
nombres  v et  v , qui  dans  la  notation  de  M.  Schubert  1 ) 
indiquent  combien  de  courbes  du  système  coupent  une  droite 
donnée  ou  font  passer  un  plan  osculateur  par  une  droite 
donnée.  D’après  ce  qui  précède,  on  a v = v = 6. 
Nous  avons  déjà  remarqué  que  la  surface  réglée  F6  est 
unicursale,  et  par  conséquent  du  rang  10.  Chaque  tangente 
de  F6  est  toutefois  rayon  d’osculation  de  la  courbe  R3  qui 
passe  par  le  point  de  contact,  et  les  rayons  d’osculation 
forment  donc  un  complexe  du  degré  a — 10. 
Pour  décider  combien  de  courbes  sont  touchées  par  un 
plan  donné,  il  faut  considérer  que  les  points  où  le  plan  est 
coupé  par  les  courbes  forment  une  involution  cubique,  située 
sur  une  courbe  unicursale,  intersection  du  plan  et  de  la 
surface  F6 . 
Une  pareille  involution  possède  quatre  points  doubles,  et 
il  y a par  conséquent  q = 4 courbes  qui  touchent  un  plan 
donné.  Mais  alors  il  y en  a un  nombre  égal  qui  font  passer 
une  tangente  par  un  point  donné;  donc,  q =4. 
Il  reste  à déterminer  le  degré  (5  du  complexe  formé  par 
les  cordes  des  courbes  F3.  Pour  cela,  nous  adjoindrons  à 
chaque  point  p de  l’une  des  courbes  tout  autre  point  q de 
la  même  courbe,  et  au  système  ainsi  construit,  — système 
du  troisième  ordre  de  couples  de  points  p,  q,  à droite  de 
jonction  g , — nous  appliquerons  la  formule  de  coïncidence *  2) 
egp^zp3  -h  q3  -h  g» . 
Les  signes  p3  et  q3,  qui  impliquent  la  condition  que  les 
i ) l.  c.,  p.  163. 
2)  Schubert,  l.  c..  p.  44,  forrn.  3. 
