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H.  A.  LORENTZ. 
1 = jr  U {x',  y',  z',  x,  y,  z)  d x', 
où  l’indice  r indique  qu’il  faut  exclure  du  champ  de  l’intégra- 
tion une  sphère  b,  à rayon  r,  ayant  pour  centre  le  point  (a?,  y , z ), 
le  rayon  étant  toujours  le  même  quelle  que  soit  la  position 
de  ce  dernier  point. 
L’intégrale  sera  une  fonction  de  x,  y et  z,  et  on  a le  théorème 
que  voici: 
r,  = -\l«-*'>üdb+lrïjd'’ <102> 
où  la  première  intégrale  est  étendue  à la  surface  de  la  sphère. 
Démonstration . Soient  : 
A le  point  ( x,y,z ), 
B le  point  (x  -h  ô , y , z),  ô étant  une  longueur  infiniment  petite, 
Ia  et  1b  les  valeurs  de  l’intégrale  relatives  à ces  deux  points. 
Il  s’agit  de  calculer: 
D I _ 1B- 1a 
d X ô 
Supposons  qu’en  déplaçant  le  point  (x,  yf  z)  de  A vers  B 
on  donne,  en  même  temps,  une  translation  égale  à tous  les 
éléments  d x . L’ensemble  des  éléments  déplacés,  que  je  nom- 
merai ( d r'),  constitue  un  espace  qui  est  limité  à l’intérieur 
par  la  sphère  b décrite  autour  du  point  B , c’est-à-dire  par  la 
sphère  jusqu’à  laquelle  il  faut  étendre  l’intégrale  Ib , et  à l’ex- 
térieur par  une  surface  ■ (a)  qui  n’est  autre  chose  que  la  sur- 
face a déplacée  sur  une  distance  ô. 
Il  en  résulte  que,  pour  changer  lj  en  Ib,  il  faut  d’abord 
remplacer,  dans  la  fonction  U,  x et  x par  x + d et  x + ô ; 
de  la  valeur  ainsi  obtenue  il  faut  retrancher  l’intégrale 
( U (x,  y’,  z',  x,  y,  z)dr 
étendue  à la  zone  qui  se  trouve  à l’intérieur  de  (cr)  et  à l’ex- 
térieur de  a,  et  il  y faut  ajouter  une  intégrale  analogue  relative 
