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p. VAN GEER. LA CONIQUE DANS l'eSPACE. 
OU HH' = l (14) 
De la même manière, on trouve 
Les formules (13). (14) et (15) donnent les relations simples 
et symétriques qui permettent d'effectuer facilement le passage 
des coordonnées ponctuelles en coordonnées tangentielles et 
mce versa. Il n'y a d'exception que pour H=:0, cas où la 
surface ne peut être représentée qu'en coordonnées ponctu- 
elles et non en coordonnées tangentielles, tandis que pour 
H' = 0, c'est précisément l'inverse. 
6. Posons maintenant: 
^ qp' (i(,,) «j jlfcj H- «, + «I :>'>-h, + ~ \ 
J-(jp'(u,)=:«,2Î'., + «2 2^'l H-«2 3^^3 + «2 4^4 =0,/ 
-1- (jp' (?ij = a, ^Ti, H- a24^^2 +«34^n + «44^4 =0./ 
Les valeurs de {u^ u^) qui résultent des trois premières 
de ces équations déterminent le plan polaire de l'origine; si 
elles satisfont aussi à la quatrième, tous les pôles sont situés 
dans ce plan, et comme les points de la surface peuvent 
également être compris parmi ces pôles, tous ces points tom- 
bent dans un même plan et la surface se change en une 
conique, ainsi que M. Hesse l'a fait voir le premier. La con- 
dition pour que cela arrive est donc 
R = 0; 
c'est le cas exceptionnel, ci-dessus mentionné, où la surface ne 
peut être représentée en coordonnées ponctuelles, pas plus que 
la surface conique ne peut l'être en coordonnées tangentielles. 
Si, outre H' = 0, on a = le plan de la co- 
nique passe par l'origine du système des coordonnées. Si, dans 
H\ tous les premiers mineurs sont nuls, l'équation est décom- 
posable en deux facteurs linéaires, et la conique se réduit à 
deux points isolés ; a-t-on, de plus, 
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