p. VAN GEER. LA CONIQUE DANS l' ESPACE. 67 
la droite qui joint ces points passe par l'origine; et si tous 
les seconds mineurs sont nuls, l'équation est un carré parfait 
et ne représente qu'un point unique; — • aucun de ces cas 
ne peut être exprimé, en coordonnées ponctuelles, par une 
équation unique, pas plus que ne peuvent l'être, en coor- 
données tangentielles, les cas où la surface se change en une 
surface cylindrique, ou en deux plans qui se coupent, sont 
parallèles ou coïncident. 
7. Prenons deux surfaces en coordonnées tangentielles 
0 = 0 et (^ = 0, 
et formons l'équation 
\p z=0 représente alors une surface qui est touchée par les 
plans tangents communs à et à cp, et qui est entièrement 
déterminée par une condition supplémentaire unique. En pre- 
nant, pour celle-ci, la condition* que la surface se transforme 
en une section conique, on doit avoir 
ce qui fournit de nouveau une équation du quatrième degré 
en de la forme 
/*l«'l2+.^2«12>l"l«'22+/^2«22M'^l«'23+i^2«23)^l«'24+i'^2«24 _q 
/^l«'.3+*"2«13J.'^l«'2 3+."2«2 3J^^l«'3 3+/^2«3 3)/^l«'3 4+/^i«3 4 
i+,U2«i4,iWja'2 4+/^2«2 4J^l«'3 '.+I^2«3 4)^^l«'4 4+i^2«4 4 
OÙ a désigne les coefficients de l'équation 0, « les coefficients 
correspondants de (p. 
Entre l'équation (17) et l'équation correspondante (6) en 
coordonnées ponctuelles, il existe un rapport remarquable, 
que nous allons développer. 
En premier lieu, les coefficients de et ^^"^ dans (17) 
sont, d'après la relation (14), les valeurs inverses des coeffi- 
cients correspondants de (6). 
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