p. VAN GEER. LA CONIQUE DANS l'eSPACE. 
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puis cherchons si les doites d'intersection sont imaginaires, 
coïncidentes ou réelles. Après que a été éliminé des équa- 
tions (30) et (39), le discriminant de la forme du second 
degré en et devient: 
A = (ai2 As^ -h «33 Âi A2 — «23 Al As—ais ^2 A^)^ — 
— («11^3^ -h «33^1^ 2ai3^1i43)(a22^3^ + «33^2^ 2a23^2^3) , 
ce qui, après quelques réductions, peut s'écrire sous la forme 
0 Al A2 A, 
A^ ^11 ^12 ^13 
A2 «12 «22 ^23 
As «23 «23 «33 
(40) 
Le signe de cette forme n'est pas seulement invariant par 
rapport à toute transformation de coordonnées, mais il ne 
change pas non plus lorsque tous les signes sont renversés 
dans les équations (30) et (39), séparément ou simultanément. 
Or, suivant qu'on a 
.go, 
les droites d'intersection sont imaginaires, coïncidentes ou 
réelles, et le plan parallèle (31) coupe par conséquent la sur- 
face conique (30) suivant une ellipse, une parabole ou 
une hyperbole. 
Appliquons maintenant ce caractère simple et symétrique 
à la conique exprimée par (36) en coordonnées tangentielles. 
La surface conique est alors représentée par (35), et le plan 
sécant par (38). Ainsi, il suffit de transporter dans le discri- 
minant (40) les coefficients empruntés à ces équations. 
On a donc 
«u m 
«12 = 
etc. 
et 
«22 «23 
"23 "33 
= M'u = ■,..___... 
^3 = M'u = ("U0l3 + «24 «24 + «34 «33. ) 
(41) 
13 '*33 
("14 «11 + «24^12 H- ''34 «13, \ 
("l4Ctl2-h"24«22 4-"34«23, , (42) 
