p. VAN GEER. LA CONIQUE DANS l'eSPACE. 83 
Féquation (36), qui, abstraction faite de la condition (37), 
représente une surface en général ; cette équation devient alors : 
(«, j + 2a, 4a, H- '^4 4<^i ^Kî 4- ("22 H- 2«2 4a2 -f- a^^a^'^)ul 4- 
+ (''3 3+2f)«3 4a3+«4 4a3 2)u'5H-2(f<,2+«2 4«i+'''l 4^2 + 
-h a^^a^a,^)u r^u i 4- 2(«, 3 H- «34a, + «, 4^3 + «44a,a3)u 3 + 
H-2(« 2 3 3 4 ^ 2 "^^^ 2 4 <x 3 H-« 4 4 a 2 a 3 )u' 2 3 +2(tt , 4 4 ^ a , )u' , t// 4 + 
+2(«2 4+«44a2)w\u'4+2(«34+«4 4a3)u 3it'4H-'^4 4u'J — 0;. . (45) 
d'où l'on voit, en premier lieu, que n^^^ est un invariant de 
cette transformation et, par suite, de toute autre transforma- 
tion de coordonnées, de sorte que tout caractère lié à cette 
quantité est également indépendant de la transformation. 
Si «4 4 n'est pas nul, on peut poser 
«,4 + «44<^I =0, 
«2 4 4- «44«2 ^ 
«3 4 + «4 4a3 == 0, 
d'où 
a,=-^, a2=-'^, «3 = --'^-^^ ,..(46) 
«44 «44 «44 
donnant pour l'équation (45) : 
('S ,^^44— ^^Î4K?+(''22«44 — '44K24-(''33«.4~'44K3 + 
+ «^4^'! +2(«,2"44 — «I4"'24)'^'l'^'2+2(r.l 3'S4"~"14"34 '^^'l ^'3 + 
4-2(«2o— «4,— «24'^34K2^^'3 =0 . . (47) 
Un changement simultané des signes de u\ u\ u\ n'a pas 
d'influence sur cette équation, de sorte que celle ci est satis- 
faite par deux plans tangents parallèles, menés à distance 
égale de part et d'autre de l'origine; il s'ensuit que celle-ci 
se trouve maintenant au centre de la surface, dont les coor- 
données sont par conséquent déterminées par l'équation (46). 
Mais si r=0, cette transformation ne peut s'opérer, car 
le centre s'éloigne alors à une distance infinie. Cette condi- 
tion est donc applicable aux surfaces dépourvues de centre. 
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