p. VAN GÈER. LA CONIQUE DANS L^ESPACË. 
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Pour H' =:0j une des racines s'annule, ainsi que nous 
l'avons déjà remarqué. Les deux autres racines sont alors 
données par l'équation du second degré 
«4 4^^— [«4 4(«1 l+«2 2+«3 3) — («?4-^-«2 4+«3 4)>^- 
+(M^,+J/',,4-i/'33)=0 . . (57) 
Le produit des racines de cette équation est ^^11+-^ 22 H- M 33 , 
or, en tant qu'ils ne soient pas nuls, ces mineurs et aussi 
M\^i ont- tous le même signe; ce signe, combiné avec celui 
de «4 5, décide donc de la nature des racines, d'une manière 
entièrement conforme à ce qui a été dit à cet égard au n° 13. 
Lorsque dans l'équation (57) le coefficient de s est nul, les 
racines sont égales et de signe contraire. Par conséquent, la 
condition 
«4 4 («11 + «22 + «3 3) = «?4 + «2 4 + «3 4 
exprime que l'hyperbole est équilatère. 
Si les racines de l'équation (57) sont imaginaires, l'ellipse 
elle-même devient imaginaire. 
Pour le cercle, les racines doivent être égales et de même 
signe, et le premier membre de (57) doit donc être un carré 
parfait. Nous arriverons toutefois plus facilement à déterminer 
les conditions cherchées, en exprimant que, dans ce cas, la 
direction des axes est indéterminée dans le plan de la conique. 
Supposons d'abord que le plan de la conique passe par 
l'origine, de sorte que pour son équation on puisse prendre 
di i^i^ +«2 2^2^ +«3 3'^3^"l~«4 4'^4^-f-2«j ^U^U^-^- 
-h2aj gtijUg +2^2 s-^î^h = 
où 
«J 1 «12 «13 
«12 «2 2 «2 3 
OC, ^ «« , a 
= 0; 
13 ^^2 3 «^3 3 
la direction des axes est alors déterminée par les équations 
