G. F. W. BAEHK. SUR UN THÉORÈME D'ABEL , ETC. 117 
variables ; C étant une constante , qui ne dépend pas des valeurs 
arbitraires attribuées à ces coefficients. 
Si, en prenant tous ces coefficients égaux à zéro, l'équation 
(2) prend la forme 
x'^^ z=z 0, 
c'est-à-dire, que toutes ses racines soient nulles, chacun des 
termes du premier membre de (1) devient zéro, et par suite la 
constante C sera alors nulle. 
Abel a fait voir que l'on peut choisir les polynômes f{x) et 
qp (po) et déterminer leurs coefficients tellement , que — 1 quan- 
tités arbitraires x^^ x^ . . . x^—i soient racines de l'équation (2), 
laquelle donnera alors la racine x,, en fonction algébrique de 
ces quantités arbitraires. 
D'après la notation de Jacobi, posant F (x) =z ti^ on a 
X — sin am u ; la formule (1) devient 
+ + . . . -H u^,~i 4- = 0, 
et l'équation (2) donnera donc sin am , ou 
zt sin am {Uj -h -h ... H- u,^—i) , en fonction algébrique de 
sin amu^ y sinamu^ . , . etc. 
Si le nombre ^ est pair , ou = 2n^ il faudra poser 
f {x) a^ -h a^ x^ -\- a^ -j- . . . -\- an—i x^''^-^ + x'^''^^ 
ip {x) =x{bQ 4- ^2 _^ 6, -h . . . + bn-2 x^'^~^), 
qui contiennent 2n — 1 coefficients indéterminés, tandis que les 
quantités arbitraires x^ ^ x^ . - - X2u~] devront satisfaire à 
«0 +a , x'^+...+aH-lX^^~'^+x^''^+{b^^œ-\-b^x^+..,-hbn-2 x^''^~'^)Ax=:0, 
un des deux facteurs dans lesquels on peut décomposer l'équa- 
tion (2). 
On aura donc, entre les inconnues , a,, . . . è^, , 
èj . . . bn~2 les 2n — 1 équations linéaires, que nous pouvons 
indiquer par 
