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G. J. LEGEBEKE. SUR UNE PROPRIÉTÉ 
alors avoir aussi bien des coefficients imaginaires que des coeffi- 
cients réels. 
2. Si ^ , . . an représentent les points du plan dans les- 
quels sont situées les racines a^ ^ a^ . . . an d'une équation f (z) :=z 0 
du degré n , toutes les racines de f [z) = 0 sont situées à Vinté- 
rieur d^un polygone convexe^ construit de façon que tous les 
points ai tombent à Vintérieur de ce polygone. 
Pour établir ce théorème, je ferai usage d'une propriété des 
fonctions méromorphes , indiquée par Cauchy. La fonction méro- 
morphe 
f\z) {z — a^){z — a^) . . . . {z — an)' 
où c représente une constante, devient nulle dans les points 
bi et infiniment grande dans les points ai. Soit maintenant 5 
une courbe simple fermée, qui ne passe par aucun des points 
ai ou bi^ mais à l'intérieur de laquelle sont situées p points 
ai et q points èi, alors, si z parcourt la ligne S dans le sens 
positif, l'argument de F [z) augmentera de 
2n{-^p-\-q). 
En effet, l'argument de z — ai est l'angle que aiz fait avec 
la droite menée de ai parallèlement à la partie positive de 
l'axe réel. Or si ai se trouve à l'intérieur de la courbe 5, cet 
argument sera augmenté de 2 tt après que z aura parcouru la 
courbe en sens positif; tandis qu'il sera resté le même si «2 est 
situé en dehors de S. La même chose a lieu pour les facteurs 
du numérateur. Il en résulte que l'accroissement de l'argument 
d'une fonction méromorphe F {z) , lorsque z parcourt la courbe 
, est égal à 2 TT fois la différence entre le nombre des racines 
de 9 {z) situées à l'intérieur dé S et le nombre des racines de 
f(z) situées à l'intérieur de cette même courbe. 
Cette propriété se laisse appliquer de la manière suivante. On a 
f{z)z=:[z — a^)[z — a.^). . . ,{z — an) 
