DES RACINES d'UNE ÉQUATION DÉRIVÉE. 
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d'où 
= _L_ ^ _L_. . . . _L_ . 
f [z) z — a, z — «2 z — an z — ai 
Soit (jpé l'angle que aiz fait avec la droite menée du point 
ai parallèlement à la partie positive de l'axe réel, et posons 
ai zzz: Qiy il vient : 
z — ai=: Qi {cos (fi -h s/ — 1 sin cpi) 
f'(z) 1 1 
ou '-^ zzr^"— cos (pi — \/ — 1 2:— sin cpizz: R {cos — 1 sin 
f{z) Qi Qi 
donc ; R cos <P cos (pi et R sin fpz=. — 2: — sin cpi. 
Qi Qi 
Examinons maintenant la variation que l'argument <p éprouve 
lorsque z parcourt le contour d'un polygone P ^P^ . . . Pm ne présen- 
tant aucun angle rentrant et construit de façon que tous les points 
ai se trouvent à l'intérieur de ce polygone. SoitP^ P2 • • Pm P^ 
la direction positive dans laquelle z doit parcourir le contour, 
et P un point situé sur le côté P ^ P^^ alors les angles (pi croîtront 
quand z se mouvra de P vers P2. Tous les points ai se trou- 
vent du même côté de P ^ P^ 1 puisque le polygone ne possède 
pas d'angles rentrants. En menant donc d'un des points ai une droite 
parallèle à PP21 et en désignant par fi l'angle que cette droite 
forme avec la partie positive de l'axe réel , les angles , lorsque 
z se trouve en P, seront tous plus petits que ^ et plus grands 
que fi — TT. Si z parcourt la droite PP2 , la même chose s'appli- 
que à tous les points de cette droite ; les angles cpi croissent , 
il est vrai, mais restent toujours compris entre les limites qui 
viennent d'être indiquées. Soit donc 
cpi = fA, Ipi, 
les angles auront, tant que z est sur la ligne PP2 , des 
valeurs comprises entre 0 et tt. Or on a: 
