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F. J. VAN DEN BERG. SUR LES RELATIONS 
noulli et â quelques autres nombres analogues , j'ai , pour 
abréger , omis en grande partie le développement des calculs , 
n'en donnant guère que les résultats et renvoyant au Mémoire 
original pour des détails plus circonstanciés. 
^ 2n 2n 
Posons i-=i\y — 1 et co = ^ ^ =: cos — isin — , et repré- 
sentons les n racines de l'équation co» — 1 = 0 par ca* , où l'ex- 
posant h doit recevoir successivement toutes les valeurs entières 
depuis 0 jusqu'à n — 1 inclusivement : parmi ces racines figure 
donc toujours = 1 , tandis que, bien qu'on ait toujours 
o)^ zn e"^'^ cos n i sinn — 1 , cependant cette valeur ne 
fait partie des racines que dans le cas de n pair, c'est-à-dire pour 
un exposant ~ entier ; toutes les autres racines sont complexes. 
Cela posé, soit F {x) une fonction réelle quelconque, qui , lorsqu'on 
y remplace x par o)^ x et qu'on la développe suivant les puissances 
k ' 
de (o^, en observant que (w^) = (w^) = 1 , se transforme en 
F (ioJ'x) = Xo + ca^-X, + 0)2^ X, 4- etc. + co(«-l)''^ Xn-\ , 
(où X] représente , suivant les circonstances , un polynôme fini 
ou infini en x) ; la norme de cette fonction , c'est-à-dire le 
produit F{x) F {œ x) F (œ^ x) . . . F{co^- ^ x), à représenter par 
n—l 
la notation 
{co^ x) , possède alors une valeur réelle qui 
peut être écrite sous la forme du déterminant doublement ortho- 
symétrique du n^^^^ degré 
Xo Xl X2 . . . Xn— 1 
Xn—l Xo Xl . . . Xn^2 
Xn—2 Xn—l Xo . . . Xn—S 
Xl X2 X3 . . . Xo 
