RÉCURRENTES PÉRIODIQUES, ETC. 
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Cela ressort , entre autres , de ce que ce déterminant , lors- 
qu'on y multiplie les colonnes successives par 1 , co^, co^^', etc., 
co{n—i)/c (en tenant de nouveau compte de l'égalité 1 = œ^^) et 
que simultanément on divise par ces mêmes quantités les ran- 
gées successives, conserve bien la même valeur, mais prend 
pourtant la forme modifiée qui résulte du remplacement de 
chaque Xi par œ^^^ Xi, c'est-à-dire du remplacement de x par 
ca^ X ; ce déterminant , permettant cette dernière substitution , 
doit donc , en premier lieu , être une fonction non-seulement de 
X , mais même de x'^ ; en outre , la somme des éléments de 
chaque rangée dans la forme modifiée étant F (œ^ x)^ le déter- 
minant lui-même doit être divisible par cette quantité F [œ^ x)^ 
n—l 
donc aussi par le produit ou la norme -L^^-i F {œ^ x), et alors, à 
cause de l'égalité des termes initiaux dans le développement 
du déterminant et du produit, il ne peut être que cette norme 
elle-même. (Yoir aussi , entre autres , R. Baltzer, Théorie und 
Anwendung der Determinanten , 3^ éd., 1870 , p. 98 — 104 ; 
S. Gûnther, Lehrbuch der Determinanten- Théorie, 1875, p. 93 — 95). 
Au lieu de chercher toutefois , pour une fonction F (x) donnée , 
à développer cette norme suivant les puissances de x^, soit à l'aide 
du déterminant formulé ci-dessus , soit de toute autre manière , 
il vaut mieux , pour l'objet que nous avons en vue , partir du 
développement du produit de la norme par la dérivée logarithmique 
"^l^j de F{x), produit encore réel, mais qui est fonction, non 
plus exclusivement de x^, mais de x lui-même. Supposons, par 
exemple , le cas où ce produit admet un développement suivant 
les puissances ascendantes positives de développement qu'on 
peut alors , en ce qui concerne les coefficients et en vue des 
calculs ultérieurs, toujours écrire sous la forme 
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