RÉCURRENTES PÉRIODIQUES, ETC. ' 391 
Le développement (1) et par suite le développement (2) 
étant connus , leur quotient fait connaître le développement de 
F'\(x) 
. — ~- . Ou bien , ce qui revient au même , on peut , en écrivant 
F{x) 
ce dernier développement sous la forme 
F' (x) 
— — i_iz=Sj + §2 ^ + S3 + etc. -h SpXP—'^ H- etc. -h 
F(x) 
-+- sn-hp x'^+P—^ -h etc. H- Sqn-^p xî^+p—^ + etc., .... (3) 
égaler les coefficients de xi'^-^P- 1 dans le produit des seconds 
membres de '2) et de (3) et dans le second membre de (1), 
pris négativement , ce qui donne , entre les coefficients a (ou 
plutôt leurs rapports) et .s, la relation suivante : 
(iqn Sp H- a{q—\)n Sn+p -H a(q-.2)?t S2n+p -\- etc. -f- a2n S(q-2)n+p + 
H- Ctn %— l)»+jo -\- CÙQ Sqn+p = — 1!^^ dqn+p \ (4) 
n 
si dans cette relation, pour une valeur déterminée de n et pour 
une valeur déterminée de ^ satisfaisant à la condition 1 <j9_< ^ , 
on fait successivement g' = 0, 1, 2, etc. jusqu'à l'infini, elle 
fournit un système de relations récurrentes périodiques entre les 
coefficients Sp , Sn+p, S2n+p t etc. d'un groupe de termes de (3) 
formé en sautant chaque fois n — 1 termes intermédiaires ; et 
par conséquent , appliquée de cette manière aux différentes 
valeurs 1, 2, 3 etc., qui conviennent à elle fait connaître 
tous les systèmes analogues de relations pour tous les groupes 
analogues. 
En outre, le susdit système àe q -\- 1 équations linéaires (4), 
formé pour des valeurs déterminées de n et de ^ et pour 
^1=0, 1, 2, etc. jusqu'à un q arbitraire inclusivement, donne 
maintenant l'occasion de résoudre les g H- 1 coefficients s^, Sn+p, 
S2n-\-p', etc., Sqn+p comme inconnues, en fonction des coefficients 
a ; on obtient ainsi en général pour Sqn+p une fraction , ayant 
pour dénominateur le déterminant qui est composé de tous les 
coefficients a des premiers membres des équations et qui , vu 
