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F. J. VAN DEN BERG. SUR LES RELATIONS 
Néanmoins, pour des raisons développées dans le Mémoire 
original, et aussi pour se rapprocher davantage, dès le début, 
de la marche de l'opération dans le cas général, il est préfé- 
1 
rable de choisir comme fonction génératrice — — cot -, ou, 
en vue d'obtenir une fonction intégrale F [x] simple , encore 
cot 
2 
mieux f(x) = — ' P^^^ donner au premier terme du 
développement de la cotangente la même forme qu'à tous les 
suivants et pour obtenir par là l'opération entière ainsi que les 
résultats sous une forme plus concise , on introduit comme 0^^^^ 
nombre de Bernoulli la notation = — 1 (qui d'ailleurs 
s'accorde bien avec le fait que, dans la formule par laquelle la 
somme des (2 ^)ièmes puissances des nombres naturels de 1 à ^/ 
est exprimée suivant les puissances décroissantes de ^, le terme 
le plus bas est ( — )p—^ ^2p~i y) ' ^'^^ remarque en outre 
que^!=^-^ — — conduit à la valeur du symbole 0!=:1, la», 
formule initiale du calcul est : 
cot ~ — js^ 
F'{x) 2 1 \lB2p-\ 
^(^) = ~T(Ï) = --4W = 2 V^^^-^ • • • 
De celle-ci on s'élève à 
cos 
2 
F, X — f f{x)dx sin ^. X^^X 
{x)z=ze J -'^ ' z=:e 2 = sm ; . . (6 ) 
2 
et, cette F (x) ainsi trouvée, il s'agit ensuite essentiellement, 
d'après la méthode générale, de développer 
1 \^ x . 
n—l COS- 
_ , , F{œ^x)^-r~-— ' Llsm ~ — suivant (1), ou 
