RÉCURRENTES PÉRIODIQUES, ETC. 
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{2q+l)n-h2p—l 
X 2" dans 
Si l'on écrit maintenant que le produit du premier ou du 
second membre de (2') par le dernier membre àe x fois 
(3') est égal au dernier membre, pris négativement, de (T), 
on peut, r désignant une des valeurs de la série 0 à inclu- 
sivement, remplacer dans le terme général de (2') l'indicateur 
q par q — r et dans celui de (3') l'indicateur p par rn+p, 
afin de pouvoir égaler la somme des coefficients de tous les 
termes homologues, qui pour r r= 0, 1,2, etc., ^, proviennent d'un 
produit de la formeH^-j x 2 y^il^x.~-,xr^+P~^\^,^u 
(i \ w — 1 
2 / 
(1'). Effectuant cette opération, multipliant en outre par 
{^)ç.{(2q-{-l)n-\-2p—l)\ ou par (-)g . ((2g+l>+2j9) ! 
n 
suivant qu'on veut faire usage de la première ou de la seconde forme de 
(2' ), et introduisant en ffénéral la notation /"^^zi: — -1 — z=z{ ^ \ 
^ \tj t\{s-t)l 
pour les coefficients égaux + 1)^^"^^ et {s — ^+iy«^«^de la 
puissance s du binôme, on obtient les deux formes suivantes de 
la relation récurrente périodique entre les nombres de Bernoulli, 
exprimée au moyen des coefficients b du développement (1) ; 
V / \(2^ — 2r + l>-iy 2^-2r-M ^2m+2^-i — 
= S, , ~ ! h^^+l)n+2p-l (4') 
( (jo— l .iusqu à w— 1)+ ^ ^ 2 ' f V / 
et 
^ \{2q — 2r H- l)n/ 
\ (P~0) _.(2q-\-l)n-h2p , 
= I (^:zi jusqu'à .-1) + ^^'^ + + 2^ 1 î • (4^0 
l'expression placée sous le signe 2', dans le coefficient binomial 
