406 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES RELATIONS 
et 
^ ^ 1 or, (2r+l)w 
Bien que la voie se trouve ainsi tracée pour développer réel- 
lement, suivant les puissances ascendantes de le second 
membre de l'équation (S'a)^ déduite pour une valeur impaire 
quelconque de et par suite aussi le second membre de (T), 
il n'en est pas moins vrai que déjà pour une valeur relative- 
ment petite de n , par exemple pour n zzz 1, auquel cas on 
devrait aller dans (9) jusqu'à q z=. zn 3, les opérations de- 
viennent très pénibles et la loi des coefficients b assez compli- 
quée. Aussi, dans ce qui suit, ne calculerons-nous ces coefficients 
que pour chacun des cas n ~ 1 jusqu'à n z=z 6 inclusivement : 
ajoutons que , comme pour n = l , 2 et 3 le développement 
direct de (!') paraît être le plus facile, et comme pour nz=z4: 
et 6 les coefficients b se déduisent le mieux, suivant la formule 
générale de duplication (12) que nous allons donner, de ceux 
pour n z=z 2 et 3 , la méthode générale exposée ci-dessus ne 
sera appliquée en réalité que pour nzzzb. 
La formule de duplication dont il s'agit, — par laquelle, 
dans le cas d'un indicateur de période n pair, les coefficients b 
correspondants peuvent être exprimés directement en fonction 
des coefficients, à désigner par b\ qui correspondent à l'indi- 
cateur de période , soit pair soit impair, - , — a été obtenue , 
2 
dans le Mémoire original, en regardant pour n pair le premier 
membre de (T) comme résultant de la multiplication du produit de 
tous ses facteurs de rang impair par le produit de tous ses facteurs 
de rang pair, et en exprimant , par l'application de l'équation (1 ') 
elle-même et de (2 ) à - au lieu de à la valeur de chacun 
2 
de ces produits en fonction des coefficients V. Cette formule, 
que nous donnerons ici sans démonstration, est la suivante: 
