- RÉCURRENTES PÉRIODIQUES, ETC. 
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A. Desboves, Questions de trigonométrie rectiligne, 2® Ed., 
1877, pag. 91—93. 
E. Catalan et Ronkar, in Nouvelle Correspondance mathéma- 
tique, T. 6, 1880, pag. 100—105. 
J'ignore s'il se trouve quelque part une démonstration de la 
nature de celle que je vais donner et par laquelle la formule 
en question s'obtient en intervertissant, pour ainsi dire, la for- 
mule, plus facile à démontrer, qui exprime la puissance du 
cosinus en fonction des cosinus des multiples. 
Pour cette dernière formule, en effet, on a immédiatement, 
suivant que n est impair ou pair: 
H—l n 
— — ou- 
2 2 
n — 1 n 
2 2 
= 2 5^Qcos (^-2r)(p, 
sauf que, dans le cas de n pair, pour des raisons semblables à 
celles qui ont été observées à propos de la formule (8^, le der- 
n 
nier terme , déterminé par r z=: - , doit être affecté du coefficient 
, . 1 
numérique - . 
Yeut-on maintenant prouver que , réciproquement , on a la 
formule un peu plus compliquée 
n — 1 n 
ou - 
2 2 
\7(— )V^"^— 1\ 
2 cos n (p =: [2 cos (jp) -h n —j-- i i J 
n — 2/ 
(2 COS ff) , 
tout revient à faire voir que si on emploie la précédente non- 
seulement pour n même , mais aussi pour toutes les valeurs de 
n — 21 dont il y a à tenir compte , et qu'on substitue les résul- 
tats dans la dernière formule, ce qui donne, après division par 2 , 
