RÉCURRENTES PÉRIODIQUES , ETC. 
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second membre de l'identité qu'il s'agit de démontrer, tous les 
termes disparaissent donc réellement , y compris même le der- 
n 
nier, déterminé par r = ^ > ^^^^ 1^ de n pair, attendu que le 
coefficient de ce terme doit être divisé par 2 tant dans la pre- 
mière que dans la seconde partie du second membre; il n'y a 
d'exception , comme cela doit être , que pour le premier terme , 
déterminé par r = 0, à savoir cos n cp: \a seconde partie du se- 
cond membre ne pouvant pas contribuer à ce terme, à cause de 
Z^l, il prend pour coefficient , c'est-à-dire, T unité. 
Ce qui précède est plutôt une vérification de la formule pour 
2 cosn cp, qu'une déduction directe de cette formule au moyen 
de celle pour (2 cos cpf . Néanmoins , on pourrait sans beaucoup 
de peine , en écrivant le développement de 2 cos n q) suivant les 
puissances descendantes de 2 cos 9 avec des coefficients indéterminés, 
faire subir à l'opération une modification telle que les valeurs de 
ces coefficients se déduiraient successivement l'une de l'autre. 
D'une manière analogue , ou aussi en différentiant par rapport 
à 9 la formule trouvée pour 2 cosnq^ on peut obtenir la formule 
n~-\ n — 2 
ou — — - 
2 2 
sm 
cp z=z sin (jp 2^ {-')' y ^ J{2 cos (p) , dont il a été 
question précédemment, à propos de l'équation (17). Et réci- 
proquement, si on avait débuté par cette dernière formule, on 
pourrait au moyen d'elle retrouver la formule pour 2 cos n q , 
non-seulement par la différentiation , mais aussi , soit par 
sin 4- l)cp sin (n — \)(p 
2 cos n œ =. . — : , en observant que 
^ sm (p stn (p ^ ^ 
/n—l\ /n~l—l\ n /n—l~l\ 
{ l l^l J'^'iy l^l )^ s^i* par 2 cosnq^ 
sin {n -H- 2) cp sin {n — 2) cp /n—l-\-l\ 
— ~ô~IZr~ ^ n 5 en observant quel , ) — 
stn cp . ^ cos cp sm cp . 2 cos cp \ l / 
'~\ 1-2 J-iK l-i )' 
Delft, juillet 1881. 
