64  V.  s.  M.  VAiN  DER  WlLLlGEiV.  SUR  LA  FAUSSETÉ 
intégrales,  par  exemple  dans  la  première,  en  posant 
X — cd  — s {i  — 0)  z=  w ; • 
il  vient  alors  : 
U — X si  J du  U — X -i-  si  du 
0 z=r , dd  — et  si7i  kd  de  = sin  k 
s — c s — c s — c s — c 
Or,  selon  M.  Petzval,  f (it)  n’a  une  valeur  appréciable  qu’entre 
les  limites  -h  £ et  — s\  par  conséquent,  dans  l’expression  affectée 
du  sinus,  on  peut  négliger  au  numérateur  u vis-à-vis  de  5/  — 
St  — X 
et  alors  sin  k 
vient  en  dehors  du  signe  d’intégration.  La 
s — c 
première  des  deux  intégrales  devient  donc: 
sm 
C— 1~  6 
-{st  — x)  I f {u)  du  ; 
c J — R 
s — c s — c 
la  valeur  de  l’intégrale  définie  est  une  grandeur  constante  C , et 
par  conséquent  on  a finalement: 
— ^ sin  — - — (st—rx), 
s — c s — c ’ 
De  la  même  manière , on  trouve  pour  la  valeur  de  la  seconde 
intégrale  : 
C . k 
sin 
{st  + x)  ; 
de  sorte  qu’il  vient: 
e C . ^/,'n  O . 
g = sin {st  — x)  — sin {st  + x), 
s — c s — c s -\-  c s c 
Voici  donc  le  résultat:  deux  vibrations  communiquées  au  milieu , 
l’une  avec  une  période  raccourcie,  l’autre  avec  une  période 
allongée,  — tout  juste  comme  le  réclamait  la  théorie  de  Doppler 
pour  avoir  un  vêtement  scientifique,  — et  dont  la  première  se 
propage  convenablement  en  avant , la  seconde  en  arrière.  De  cette 
façon,  en  effet,  la  périodicité  de  la  vibration  de  la  source  est 
transmise  très  ingénieusement,  et  avec  les  modifications  néces- 
saires, au  milieu  ambiant. 
